Không gian afin là một bộ ( A , V ) {\displaystyle (A,V)} gồm một tập hợp không rỗng A, một không gian vectơ V {\displaystyle V} trên trường F {\displaystyle \mathbb {F} } và phép toán tác dụng nhóm tự cho và chuyển tiếp của V {\displaystyle V} (với phép cộng vectơ như là tác dụng nhóm) trên A {\displaystyle A} (tức không gian afin là không gian thuần nhất chính cho tác dụng của V.)

Cụ thể, không gian afin là tập hợp điểm A cùng với ánh xạ

l : V × A → A , ( v , a ) ↦ v + a {\displaystyle l\colon V\times A\to A,\;(\mathbf {v} ,a)\mapsto \mathbf {v} +a}

với những tính chất sau:[3][4][5]

1. Tồn tại phần tử đồng nhất trái ∀ a ∈ A , 0 + a = a {\displaystyle \forall a\in A,\;\mathbf {0} +a=a}
2. Tính kết hợp ∀ v , w ∈ V , ∀ a ∈ A , v + ( w + a ) = ( v + w ) + a {\displaystyle \forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V,\forall a\in A,\;\mathbf {v} +(\mathbf {w} +a)=(\mathbf {v} +\mathbf {w} )+a}
3. Tính duy nhất ∀ b ∈ A , {\displaystyle \forall b\in A,} tồn tại duy nhất một vectơ v ∈ V , {\displaystyle \mathbf {v} \in V,} sao cho b = a + v {\displaystyle b=a+\mathbf {v} } hay ánh xạ   V → A : v ↦ v + a {\displaystyle \ V\to A\colon \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} +a\quad } là song ánh.

(do V là nhóm Abel, nên không có sự khác nhau giữa tác dụng bên phải hay bên trái, vì vậy có thể đặt vectơ ở bên phải.)

Bằng cách chọn một gốc, o, ta có thể đồng nhất A với V, biến A thành không gian vectơ. Ngược lại, bất kỳ không gian vectơ V là một không gian afin trên chính nó.

Phép trừ và tiên đề Weyl

Tính duy nhất đảm bảo xác định phép trừ giữa hai phần tử bất kỳ của A, tạo thành một vectơ trong V:

a − b {\displaystyle a\,-\,b\;} là vectơ duy nhất trong V sao cho ( a − b ) + b = a {\displaystyle \left(a\,-\,b\right)\,+\,b\;=\;a} .

Ta có thể định nghĩa một cách tương đương không gian afin là tập hợp điểm A cùng với một không gian vectơ V, và ánh xạ trừ

ϕ : A × A → V , ( a , b ) ↦ b − a ≡ a b → {\displaystyle \operatorname {\phi } :\;A\,\times \,A\;\to \;V,\;\left(a,\,b\right)\,\mapsto \,b\,-\,a\;\equiv \;{\overrightarrow {ab}}}

với những tính chất sau đây:[6]

1. ∀ p ∈ A , ∀ v ∈ V {\displaystyle \forall p\,\in \,A,\;\forall \mathbf {v} \,\in \,V} tồn tại duy nhất điểm q ∈ A {\displaystyle q\,\in \,A} sao cho q − p = v {\displaystyle q\,-\,p\;=\;\mathbf {v} } và
2. ∀ p , q , r ∈ A , ( q − p ) + ( r − q ) = r − p {\displaystyle \forall p,\,q,\,r\,\in \,A,\;(q\,-\,p)\,+\,(r\,-\,q)\;=\;r\,-\,p} .

Hai tính chất này được gọi là tiên đề Weyl.

Tổ hợp afin

Khi chọn gốc o bất kỳ, với hai điểm a, b trong A và đại lượng vô hướng λ, tồn tại duy nhất phần tử trong A ký hiệu bằng λ a + ( 1 − λ ) b {\displaystyle \lambda a+(1-\lambda )b} sao cho

( λ a + ( 1 − λ ) b ) − o = λ ( a − o ) + ( 1 − λ ) ( b − o ) . {\displaystyle (\lambda a+(1-\lambda )b)-o=\lambda (a-o)+(1-\lambda )(b-o).}

Có thể chỉ ra được phần tử này là độc lập với cách chọn gốc o. Ngoài tổ hợp tuyến tính sao cho tổng các hệ số bằng 1, các tổ hợp tuyến tính khác của các điểm không có ý nghĩa gì trong không gian afin.